Ошибка измерительного прибора случайная величина распределенная по нормальному закону

Задачи для самостоятельной работы по теме 7

Обозначим случайную величину X – вес случайно отобранного зерна. По условию, X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0,15 и средним квадратическим отклонением 0,03, т. е. .

а) Процент семян, от которых следует ожидать нормальные всходы – это вероятность получить нормальный всход от взятого наугад зерна. По условию, нормальный всход дают зерна, вес зерна которых удовлетворяет X>0,10. Вероятность этого события:

По таблицам значений функции Лапласа, учитывая, что Ф(-t)=-Ф(t) получим:

Ф(-1,67)=-0,9051, откуда т. е. от 95,2% семян следует ожидать нормальных всходов.

б) Пусть – величина, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,99, т. е.

С другой стороны, вероятность , следовательно откуда и

По таблицам значений функции Лапласа: , откуда получаем

Таким образом, с вероятностью 0,99 вес взятого наугад зерна не будет превышать 0,22 г.

Пример 7.2. Случайные отклонения диаметра детали, выпускаемой цехом, от номинала распределены нормально. Математическое ожидание диаметра детали равно 20 мм, а дисперсия 0,36 мм. Найти:

а) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от 19 до 22 мм;

б) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм (по абсолютной величине);

в) границы, в которых с вероятностью 0,9876 следует ожидать величину диаметра детали.

Обозначим случайную величину X — диаметр случайно отобранной детали. По условию, X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 20 и дисперсией 0,36, т. е.

А. Вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от 19 мм до 22 мм, т. е. 19

Обозначим случайную величину Х – масса случайно взвешенного реактива. По условию, X распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 0,02, т. е.

Пусть – величина отклонения массы случайно взвешенного реактива от среднего значения, s определяет границы симметричного относительно математического ожидания интервала, в который с вероятностью 0,2 попадает случайная величина X, т. е.

С другой стороны, вероятность , следовательно,

По таблицам значений функции Лапласа: , отсюда получаем

Таким образом, с вероятностью 0,2 отклонение массы реактива составит 0,005 г.

Задачи для самостоятельной работы по теме 7

7.1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Среднее квадратическое отклонение – 3,6 мм. Найти вероятность того, что:

а) длина наудачу взятой детали заключена в границах от 40 мм до 55 мм;

б) отклонение длины изготовленной детали от проектной по абсолютной величине не превзойдет 5 мм.

7.2. Производится измерение расстояния между двумя пунктами. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону. Найти вероятность того, что измерение расстояния будет произведено с ошибкой не более 60 мм, если среднее квадратическое отклонение составляет 50 мм. (Систематическая ошибка измерения отсутствует.)

7.3. Автомат изготавливает шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение его диаметра от проектного не превосходит 0,6 мм. Считая, что диаметр изготовленного шарика есть нормально распределенная величина, среднее квадратическое отклонение которой равно 0,3 мм, найти, сколько годных шари-ков будет среди 100 изготовленных.

7.4. Диаметр валика – случайная нормально распределенная величина, среднее квадратическое отклонение которой равно 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9545 попадает диаметр валика.

7.5. По цели ведется стрельба из орудия. Средняя дальность полета снаряда составляет 1000 м. Найти долю выпускаемых снарядов, дающих перелет до 60 м, если среднее квадратическое отклонение дальности полета снаряда равно 30 м.

7.6. Известно, что вес клубня картофеля подчиняется нормальному закону с матема­тическим ожиданием 125 г и средним квадратическим отклонением 15г. Найти вероятность того, что вес наудачу взятого клубня будет:

7.7. Ошибка измерительного прибора – случайная величина, распределенная по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение ее равно 4 мк, систематическая ошибка отсутствует. Найти вероятность того, что в 6 независимых измерениях ошибка:

а) превзойдет (по модулю) 3 мк менее 4 раз;

б) хотя бы 1 раз окажется в интервале от 0,6 мк до 2,0 мк.

7.8. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии равным 5 мм. Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом. Какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98?

7.9. Деталь изготавливается на станке. Ее размер представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией 0,2 . Какую относительную точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95?

7.10. В нормально распределенной совокупности 15% значений случайной величины Х меньше 12 и 40% значений больше 16,2. Найти среднее значение и дисперсию этого распределения.

Источник

О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака

Тема 7

Нормальный закон распределения

Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность f (х) имеет вид

.

Здесь . В этом случае пишут X

N , где – среднее квадратическое отклонение.
^

Решение типовых задач

Задача 1. При сортировке случайные значения веса зерна распределены нормально со средним значением 0,15 г и средним квадратическим отклонением 0,03 г. Нормальные всходы дают зерна, вес которых более 0,10 г. Определить: а) процент семян, от которых следует ожидать нормальные всходы; б) величину, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,99.

Решение. Обозначим Х – случайный вес зерна. По условию

,

а) Процент семян, дающих нормальные всходы – это вероятность того, что взятое наугад зерно нормально взойдет. По условию нормальные всходы дают зерна, удовлетворяющие условию Х > 0,10.

Вероятность этого события найдем по формуле

Подставляя числовые значения, получаем

т. е. от 95,2% семян следует ожидать нормальных всходов.

б) Обозначим искомую величину веса через . Воспользу­емся для ее нахождения формулой .

Находим из условия или

; .

По таблице значений функции находим , откуда . Таким образом, вес взятого наугад зерна не будет превышать 0,22 г с вероятностью 0,99.

Задача 2. Случайные отклонения диаметра детали, выпускаемой цехом, от номинала распределены нормально. Математическое ожидание диаметра детали равно 20 мм, а дисперсия 0,36 мм. Найти:

1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) имеет размеры от 19 до 22 мм; б) отличается от математического значения не более чем на 1 мм (по абсолютной величине);

2) границы, в которых следует ожидать величину диаметра детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,9876.

Решение. Обозначим Х – величина диаметра детали. По условию , , тогда .

1.а) Найдем вероятность, для чего воспользуемся формулой

.

Получаем

.

1.б) Найдем вероятность . Имеем

или .

2) По условию . По таблице значений находим значит, , отсюда .

Диаметр детали X удовлетворяет неравенству . Отсюда находим или , т.е. с вероятностью 0,9876.

Задача 3. Результат взвешивания химреактива распределен по нормальному закону со средним квадратическим отклонением веса г. Какое отклонение массы реактива можно гарантировать с вероятностью 0,2?

Решение. В условии задачи дано, что , , где . Нужно найти .

Воспользуемся формулой .

Согласно условию задачи . По таблице значений функции Лапласа имеем .

Значит,, откуда . Итак, с вероятностью 0,2 можно ожидать отклонения массы реактива, равного 0,0032 г.
^

Задачи для отчета преподавателю

А 7.1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Среднее квадратическое отклонение равно 3,6 мм. Найти вероятность того, что: а) длина наудачу взятой детали заключена в границах от 40 до 55 мм; б) отклонение длины изготовленной детали проектной по абсолютной величине не превзойдет 5 мм.

А 7.2. Производится измерение расстояния между 2 пунктами. Случайные ошибки подчинены нормальному закону. Найти вероятность того, что измерение расстояния будет произведено с ошибкой не более 60 мм, если = 50 мм.

А 7.3. Автомат изготовляет шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение его диаметра от проектного не превосходит 0,6 мм. Считая, что диаметр изготовленного шарика есть нормально распределенная величина, среднее квадратическое отклонение которой равно 0,3 мм, найти, сколько годных шариков будет среди 100 изготовленных.

А 7.4. Диаметр валика – случайная нормально распределенная величина, среднее квадратическое отклонение которой равно = = 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно
математического ожидания, в который с вероятностью 0,9545 попадет длина диаметра валика.

А 7.5. Ведется стрельба по цели из орудия. Средняя дальность полета снаряда – 1000 м. Найти долю выпускаемых снарядов, дающих перелет до 60 м, если среднее квадратическое отклонение дальности полета снаряда равно 30 м.

А 7.6. Известно, что вес клубня картофеля подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 125 г и = 15 г. Найти вероятность того, что вес наудачу взятого плода будет: а) не менее 200 г; б) не более 300 г.

А 7.7. Ошибка измерительного прибора – случайная величина, распределенная по нормальному закону. Ее среднее квадрати­ческое отклонение 4 мм. Найти вероятность того, что в 6 независи­мых измерениях ошибка (по модулю): а) превзойдет 3 мм менее 4 раз; б) хотя бы 1 раз окажется в интервале от 0,6 до 2,0 мм.

А 7.8. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления детали характеризуется = 5 мм. Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом. Какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98%?

А 7.9. Измеряемая величина ^ Х подчиняется закону N (10; 5). Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью p попадет измеренное значение. Провести расчеты для: а) p = 0,9973; б) p = 0,9545; в) p = 0,6827.

А 7.10. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N (25; 0,45). В какой интервал попадут ее значения с вероятностью 0,9545?

А 7.11. Деталь изготавливается на станке. Ее размер Х представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией 0,2 см 2 . Какую относительную точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95?

А 7.12. В нормально распределенной совокупности 15% значений Х меньше 12 и 40% значений Х больше 16,2. Найти среднее значение и дисперсию этого распределения.

А 7.13. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. В предположении нормальности определить, каков процент коробок, масса которых превышает 940 г.

А 7.14. Химический завод изготовляет серную кислоту плотности 1,84 г/см 3 . В результате статистических испытаний обнаружено, что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82; 1,86). Предполагается, что плотность серной кислоты имеет нормальное распределение. Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более чем на 0,01 г/см 3 .

А 7.15. Случайная величина X распределена по нормальному закону N (1; 0,3). Найти вероятности следующих событий: и .

А 7.16. Ошибка высотомера распределена нормально с параметрами = 20 мм, = 10 мм. Найти вероятность того, что отклонение ошибки от ее среднего значения не превзойдет 5 мм по абсолютной величине.

А 7.17. Случайная величина Х подчиняется закону N (1;). Известно, что Р(X 2 ) и Р(Х 2 >2).

А 7.18. Случайная величина Х распределена по закону N (, ). Найти вероятность того, что отклонение величины Х от ее математического ожидания не превзойдет величины 2.

А 7.19. В нормально распределенной совокупности 15% значений Х меньше 15 и 40% значений Х больше 18,2. Найти и этого распределения.

А 7.20. Диаметр электродвигателя есть нормально распределен­ная случайная величина с параметрами = 100 мм и =1,6 мм. Найти вероятность того, что диаметр случайно взятого электродвигателя находится в интервале (98; 101).

А 7.21. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка подчинена нормальному закону с = 20 м и = 10 м. Определить вероятность того, что измеренное расстояние отклоняется от действительного в ту или иную сторону не более чем на 15 м.

А 7.22. Средний размер детали 8 см, а дисперсия равна 0,0004 см 2 . В предположении о нормальном распределении определить максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой детали от среднего размера, которое можно гарантировать
с вероятностью не менее чем 0,9973.

А 7.23. Изделия, выпускаемые цехом, по своим линейным размерам распределяются по нормальному закону с математи­ческим ожиданием, равным 6 см. Известна вероятность, равная 0,9758, что наудачу взятое изделие будет иметь размеры в границах от 5,95 до 6,05 см.
Найти дисперсию этой случайной величины.

А 7.24. Длина изготовляемой детали есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с = 10 см и = 0,2 см. Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 100,3 см. Какую точность длины изготовленной детали
можно гарантировать с вероятностью 0,9758?

А 7.25. На автомате изготавливают заклепки. Диаметр их головок представляет собой случайную величину X, распределенную по нормальному закону с параметрами = 2 мм и 2 = 0,01 мм 2 . Найти вероятность брака, если допустимые размеры головок 2 0,05 мм. Какие размеры диаметра головок заклепки можно
гарантировать с вероятностью 0,9545?

А 7.26. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 80 грибов белых будет 20?

А 7.27. Для поступления в некоторый университет необходимо успешно сдать вступительные экзамены. В среднем их выдерживают 25% абитуриентов. Предположим, что в приемную комиссию поступило 1800 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 450 поступающих успешно сдадут экзамены?

А 7.28. Кандидата в высший орган республики поддерживают 80% населения. В каких пределах с вероятностью 0,95 находится число проголосовавших «за» на выборах кандидата, если число избирателей равно 36 000 000?

А 7.29. Сколько нужно произвести бросаний монеты, чтобы с вероятностью 0,99 можно было бы утверждать, что частость выпадения герба отличается от 0,5 не более чем на = 0,01?

А 7.30. Известно, что из 100 семей 80 имеют холодильник. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильник.

А 7.31. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 1/4. Найти вероятность того, что коли­чество спелых арбузов будет находиться в пределах от 564 до 600.

А 7.32. Найти минимальный объем выборки, чтобы с надежностью 0,9109 точность оценки математического ожидания диаметров изготовляемых валиков по выборочной средней будет равна 0,4 мм. Известно, что диаметр валиков в генеральной совокупности есть нормальная случайная величина с = 3,2 мм.

А 7.33. Определить вероятность того, что допущенная при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего процента выполнения месячного плана рабочими цеха не превысит 2%, если было обследовано 25 рабочих и известно, что процент выполнения плана любым рабочим есть нормально распределенная случайная величина с = 8%.

А 7.34. По данным испытаний 16 ламп определено = 20 ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить с надежностью 0,95 верхнюю границу доверительного интервала для генеральной дисперсии.

А 7.35. По результатам 9 измерений средняя высота исследуемой детали оказалась равной х = 50 мм, а выборочное среднее квадратическое отклонение равно 0,8 мм. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98 х; 1,02 х).

А 7.36. На основании измерения 12 деталей вычислено = 10 мм. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить вероятность того, что истинное значение генерального среднего квадратического отклонения будет находиться в интервале (0,89; 1,11).

А 7.37. На основе данных, полученных с 26 выбранных участков района размером 1 га, оказалось, что средняя урожайность пшеницы составила х = 30 ц/га, выборочное среднее квадратическое отклонение – 3 ц/га. Найти надежность доверительного интервала с границами 0,95х и 1,055х, считая, что х распределена нормально.

А 7.38. Для определения доли дефектных штанг из партии взята случайная выборка объемом в 400 штук. Среди отобранных штанг оказалось 25 дефектных. Определить с вероятностью 0,9281 максимальную долю дефектных изделий во всей партии.

А 7.39. Из большой партии электромагнитных реле было отобрано и подвергнуто контрольной проверке 600 шт. Среди них 18 штук оказались дефектными. Определить вероятность того, что в партии доля бракованных реле окажется не меньше 0,01 и не более 0,05.

А 7.40. Случайная величина X распределена нормально со средним = 10, а вероятность ее попадания в интервал (5, 15) равна 0,8. Найти вероятность попадания X в интервал (9, 10).

Блок В

1. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 170 см, а дисперсия – 36. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168 до 172 см.
2. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределяется по нормальному закону с параметрами: а = 5 см;  2 = 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.
3. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами:
   а = 16 км;  = 100 м. Найти вероятность того, что расстояние
   между этими пунктами: а) не меньше 15,8 км; б) не более 16,25 км; в) от 15,75 до 16,3 км.
4. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.
5. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами а = 375 г,  = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.
6. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).
7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение из интервала (12; 14).
8. Пусть диаметр изготовленной в цеху детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: а = 4,5 см и  = 0,05 см. Найти вероятность того, что размер диаметра взятой наугад детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм.
9. Случайная величина Х нормально распределена. Ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны соответственно 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3.
10. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 стоит ожидать значение случайной величины.

Источник