Статистические оценки параметров распределения
Пример 18.1. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты в (мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти выборочную среднюю длину стержня; выборочную и «исправленную» выборочную дисперсии ошибок прибора.
Выборочная средняя определяется по формуле простой средней арифметической:
.
(м).
Выборочная дисперсия определяется по формуле:
(см 2 ).
«Исправленная» выборочная дисперсия:
(см 2 ).
Пример 18.2. Известны ежемесячные данные об объемах продаж компаний за год в (млн. т.):
10; 15; 11; 12; 12; 11; 13; 9; 15; 12; 15; 11.
Требуется: Найти значения несмещенных оценок генеральной средней и генеральной дисперсии ежемесячного объема продаж компании.
Составим вариационный ряд: 7; 10; 11; 11; 11; 12; 12; 12; 13; 15; 15; 15.
Несмещенная оценка генеральной средней определяется по формуле взвешенной средней арифметической:
, где 
— частота варианты.
(млн. т.).
Несмещенная оценка генеральной дисперсии определяется по формуле «исправленной» выборочной дисперсии:
.
(млн. т. 2 ).
Пример 18.3. Ниже приведены результаты измерения роста в (см) случайно отобранных 100 студентов:
Рост (см),  | 154-158 | 158-162 | 162-166 | 166-170 | 170-174 | 174-178 | 178-182 |
Число студентов,  |
Найти значения несмещенных оценок генеральной средней и генеральной дисперсии роста обследованных студентов.
,
где 
– середина интервала.
(шт).
(см).
.
(см 2 ).
studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2022 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.001 с) .
Источник
Точечные оценки параметров распределения
Дата добавления: 2014-05-19 ; просмотров: 9979 ; Нарушение авторских прав
Определение. Статистической оценкой 
неизвестного параметра 
теоретического распределения называют функцию 
от наблюдаемых случайных величин 
Определение. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом 
, где 
− результаты 
наблюдений над количественным признаком 
(выборка).
Определение. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Определение. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Несмещенной оценкой математического ожидания (генеральной средней) служит выборочная средняя:
(3.43)
где 
− варианта выборки;
− частота варианты 
− объем выборки.
Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:
(3.44)
Более удобна для вычислений формула:
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
(3.45)
Пример 3.56. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
а) найдем выборочную среднюю по формуле (3.38):
б) найдем выборочную дисперсию по формуле (3.39):
Найдем исправленную дисперсию по формуле (3.40):
Источник
Точечные оценки параметров распределения
Определение. Статистической оценкой 
неизвестного параметра 
теоретического распределения называют функцию 
от наблюдаемых случайных величин 
Определение. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом 
, где 
− результаты 
наблюдений над количественным признаком 
(выборка).
Определение. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Определение. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Несмещенной оценкой математического ожидания (генеральной средней) служит выборочная средняя:
(3.43)
где 
− варианта выборки;
− частота варианты 
− объем выборки.
Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:
(3.44)
Более удобна для вычислений формула:
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
(3.45)
Пример 3.56. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
а) найдем выборочную среднюю по формуле (3.38):
б) найдем выборочную дисперсию по формуле (3.39):
Найдем исправленную дисперсию по формуле (3.40):
Источник
Пример 1
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
Решение: Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя n=16+12+8+14=50
Пример 2
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n :
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
Решение: 
Пример 3
По выборке объема n=41 найдена смещенная оценка D 
генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности .
Решение: Искомая несмещенная оценка дисперсии ген. совокупности равна исправленной дисперсии: S 
Задание 1.Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=10:
Задание 2. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=20:
Указание: Перейти к условным вариантам U 
Задание 3. По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка D 
ген. дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии ген. совокупности.
Задание 4. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм.): 92;94;103;105;106.
Найти: a) выборочную среднюю длину стержня; b) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора. Взяли C=92
Ответ: 
Задание 5. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8;9;11;12.
Найти: a) выборочную среднюю результатов измерений;
b) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
Ответ: 
Задание 6. Ниже приведены результаты измерения роста (в см.) случайно отобранных 100 студентов.
Источник
