Система состоит из пяти приборов вероятность исправной работы

Примеры решения задач. Предлагается несколько простых примеров решения задач

Предлагается несколько простых примеров решения задач. Следует помнить, что частота, интенсивность отказов и параметр потока отказов, вычисленные по формулам (14.35), (14.6) и (14.13), являются постоянными в диапазоне интервала времени ∆t, а функции , ), —ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий ответы относятся к середине интервала ∆t. При этом результаты вычислений графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек, отнесенных к середине интервалов ∆t_i и соединенных плавной кривой.

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп, требуется определить вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) в течение 3000 ч.

Дано: N = 1000 шт ∆t = 3000 ч n = 80 шт	Решение: P(t) = ; P(t) = = 0,92; Q(3000) = 1 – P(3000) = 0,08 или Q(3000) = = = 0,08
Найти: P(t) , Q(t)

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые 3000 ч отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000-4000 ч отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту f(∆t) и интенсивность λ(∆t) отказов электронных ламп в промежутке времени ∆t = 3000 … 4000 ч.

Дано: N = 1000 шт. ∆t₁ = 3000 ч n₁ = 80 шт. ∆t₂ = [3000,4000] n₂ = 50 шт.	Решение: f(∆t₂ ) = f(∆t₂ ) = = 5•10 -5 ч -1 ; λ(∆t₂ ) = ; N_ср = ; N_раб1 = 1000 – 80 = 920 шт; N_раб2 = 1000 – 130 = 870 шт N_ср = = 895; λ(∆t₂ ) = = 5,58 •10 -5 ч -1 ;
Найти: a(∆t₂ ), λ(∆t₂)

На испытание поставлено N ₀ =400 изделий. За время t= 3000 ч отказало n(t) =200 изделий, за интервал ∆t = 100 ч отказало n(∆t)=100 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы за 3000 ч, вероятность безотказной работы за 3100 ч, вероятность безотказной работы за 3050 ч, частоту отказов f(3050), интенсивность отказа λ(3050).

]

Дано: N = 400 шт. t = 3000 ч n = 200 шт. ∆t = 100 ч n(∆t) = 100 шт. Найти: Р(3000), Р(3050), Р(3100), f(3050), λ(3050).

Решение: Вероятность безотказной работы будем искать по формуле: P(t) =

; Р(3100) =

= 0,25; Для t =3000 ч (начало интервала) Р(3000) =

= 0,5; Для t =3100 ч (конец интервала) Р(3100) =

= 0,25; Среднее время исправно работающих изделий в интервале ∆t: . Число отказавших за время t=3050 ч n(3050) = N ₀ — N _ср= 400 – 150 =250, тогда Р(3050) =

= 0,375; Определяется частота отказа: f(3050) =

; f(3050) =

= 0,0025 = 2,5٠10 -2 ; ч -1 . Так же определяется частота отказов за интервалы 3000 ч и 3100 ч, причем началом интервалов является t = 0. f(3000) =

= 0,000167 = 1,67٠10 -4 ч -1 ; f(3100) =

= 0,00024 = 2,4٠10 -4 ч -1 . Определяется интенсивность отказов: а) в интервале ∆t =3050 ч λ(3050) =

; λ(3050) =

= 0,0067 ч -1 ; б) в интервале ∆t =3000 ч N_ср (3000) = 400 – 100 = 300 шт; λ(3000) =

= 0,000222 =2,22٠10 -4 ч -1 ; в) в интервале ∆t =3100 ч N_ср (3100) = 400 – 150 = 250 шт; λ(3100) =

= 0,00039 ч -1 .

В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного объекта. За весь периодов зарегистрировано n= 15 отказов. До начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ t_ср.

Дано: n = 15 t₁ = 258 ч t₂ = 1233 ч

Решение: Наработка за указанный период составила ∆t = t₁ – t₂ = 1233 – 258 = 975 ч; Наработка на отказ по статистическим данным определяется по формуле: t_ср =

/n, где t_i — время исправной работы между (i -1) и i отказами, n – число отказов за некоторое время t. Приняв

= 975 ч, можно определить среднюю наработку на отказ t_ср =

= 65 ч.

Найти: t_ср

Производилось наблюдение за работой трех однотипных объектов. За период наблюдения было зафиксировано по первому объекту 6 отказов, по второму — 11 отказов, третьему — 8 отказов. Наработка первого объекта t₁ = 6181 ч, второго

t₂ = 329 ч, третьего t₃ = 245 ч. Определить наработку объектов на отказ.

Дано: N = 3 n₁ = 6 n₂ = 11 n₃ = 8 t₁ = 181 ч t₂ = 329 ч t₃ = 245 ч	Решение: 1 вариант решени:. t_ср= / n_i; t_ср =; t_ср = = 30,2 ч 2 вариант решения: t_{ср 1} = , t_{ср 2} = , t_{ср 3}= ; t_{ср 1} = , t_{ср 2} = , t_{ср 3}= ; t_{ср 1}= = 30,2 ч; t_{ср 2}= = 29,9 ч; t_{ср 3}= = 3,6 ч; t_ср= (30,2 + 29,9 + 30,6)/3 = 30,2 ч.
Найти: t_ср

Как видно, у задачи есть два способа решения. Первый основан на использовании общей формулы вычисления средней наработки. Во втором варианте решения применяется более детальный способ. Сначала находится средняя наработка для каждого элемента, а среднее значение этих чисел и есть то, что определяется.

Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказала 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.

Дано: N = 5 n₁ = 34 n₂ = 24 n₃ = 4 n₄ = 6 n₅ = 5 t₁ = 952 ч t₂ = 960 ч t_3-5 = 210 ч

Решение: Используются следующие соотношения: λ_с =

; t_cp =

; Определяется интенсивность отказов для каждого прибора (N = 1): λ_i =

, где N_ср— среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆t. λ₁ =

= 0,04 ч -1 ; λ₂ =

= 0,025 ч -1 ; λ₃ =

= 0,02 ч -1 ; λ₄ =

= 0,03 ч -1 ; λ₅ =

= 0,02 ч -1 ; или

= 0,07 ч -1 ; тогда интенсивность отказов системы будет λ_с =

= λ₁ + λ₂ + λ_3-5 = 0,04 + 0,025 + 0,07 = 0,135 ч -1 ; Средняя наработка на отказ системы равна t_cp =

= 7,41 ч.

Найти: t_ср

За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t₁ = 12 мин, t₂ = 23 мин, t₃ = 15 мин, t₄ = 9 мин,

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.

Дано: n = 8 отказов t₁ = 12 мин t₂ = 23 мин t₃ = 15 мин t₄ = 9 мин t₅ = 17 мин t₆ = 28 мин t₇ = 25 мин t₈ = 31 мин	Решение: t_{ср в} = ; t_{ср в} ₌= 20 мин.
Найти: t_{ср в}

Аппаратура имела среднюю наработку на отказ t_cp = 65 ч и среднее время восстановления t_в = 1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности К_г.

Дано: t_cp = 65 ч t_в= 1,25 ч	Решение: К_г = ; К_г = = 0,98.
Найти: К_г

Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону λ = 2,5 ٠10 -5 ч -1 . Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку на отказ t_ср, если t = 500, 1000, 2000 ч.

Дано: λ = 2,5 ٠10 -5 ч -1 t₁ = 500 ч t₂ = 1000 ч t₃ = 2000 ч

Решение: Р(t) = e — λt ; Р(t₁) = e -2.5 ٠0.00001•500 = 0,98; Р(t₂) = e -2.5 ٠0.00001•1000 = 0,97; Р(t₃) = e -2.5 ٠0.00001•2000 = 0,95; f(t) = λ٠P(t); f(t₁) = 2,5٠10 -5 ٠0.98 = 2.45٠10 -5 ч -1 ; f(t₂) = λ٠P(t₂) = 2,5٠10 -5 ٠0.97 = 2.425٠10 -5 ч -1 ; f(t₃) = λ٠P(t₃) = 2,5٠10 -5 ٠0.95 = 2.375٠10 -5 ч -1 ; t_ср =

; t_ср =

= 4٠10 4 ч.

Найти: P(t), f(t), t_ср

Время работы изделия до отказа подчиняется закону Рэлея. Требуется определить количественные характеристики: P(t), f(t), λ(t), t_ср, при t₁ = 500 ч, t₂ = 1000 ч, t₃ = 2000 ч. Если параметр распределения σ = 1000 ч.

Дано: t₁ = 500 ч t₂ = 1000 ч t₃ = 2000 ч σ = 1000 ч

Решение: f(t) =

; f(500) =

= 4٠10 -4 ч -1 ; f(1000) =

= 6,1٠10 -4 ч -1 ; f(2000) =

= 2,7٠10 -4 ч -1 ; Р(t) =

; Р(500) =

= 0,88; Р(1000) =

= 0,61; Р(2000) =

= 0,14 λ(t) =

; λ(500) =

= 4,5•10 -4 ч -1 ; λ(1000) =

= 10٠10 -4 ч -1 ; λ(2000) =

= 19,3٠10 -4 ч -1 ; t_ср =

; t_ср(500) =

= 2,2٠10 3 ч; t_ср(1000) =

= 10 3 ч; t_ср(2000) =

= 0,05٠10 3 ч.

Найти: P(t), f(t), λ(t), t_ср,

Время безотказной работы гироскопического устройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла — Гнеденко с параметрами k = 1,5, λ_о = 10 -4 ч -1 , а время его работы t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства.

Решение.

k = 1,5 Используются формулы закона Вейбулла — Гнеденко для

λ_о = 10 -4 ч -1 . определения количественных характеристик:

t = 100 ч. Определяется вероятность безотказной работы:

Р(t) = .

Р(100) =

Найти:Р(t), f(t) Частота отказов определяется по формуле:

λ(t), t_ср f(t) =

f(100) = ч -1

Интенсивность отказов определяется по формуле:

λ(t) = .

λ(100) = ч -1

Вычисляется средняя наработка до первого отказа:

t_ср =

Сначала вычисляют значение гамма-функции, воспользовавшись справочными данными ([54], таблица П.7.18). В данном случае х = (1/k)+1 = (1/1,5)+1 = 1,67.

Полученные данные подставляются в формулу [54]:

t_ср = ч

Известно, что интенсивность отказов λ = 0,02 ч -1 , а среднее время восстановления t_В = 10 ч. Требуется вычислить коэффициент готовности изделия.

t_В = 10 ч. Коэффициент готовности изделия определяется по

К_Г =

Найти: К_Г Средняя наработка до первого отказа равна:

К_Г =

Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ _ср = 0,32٠10 -6 ч -1 .

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 ч.

N = 12600 Интенсивность отказов системы определим по фор-

Вероятность безотказной работы по экспоненциальному

P(50) = е -λ _с t =

Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна: p₁(t) = 0,98; p₂(t) = 0,99; p₃(t) = 0,97; p₄(t) = 0,985; p₅(t) = 0,975.

Требуется определить вероятность безотказной работы системы.

Решение.

N = 5 Воспользуемся формулой для определения безотказной ра-

p₂(t) = 0,99

p₃(t) = 0,97 Данные вероятности близки к единице, поэтому вычислить

p₄(t) = 0,985 Р_с(t) удобно, использовав приближенную формулу.

q₅=0,025. Тогда:

Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна λ₁ = 0,16٠10 -3 ч -1 = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами: λ₂ = 0,23٠10 -4 t ч -1 , λ₃ = 0,06٠10 -6 t 2,6 ч -1 .

Нужно рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 ч.

Дано: N = 3 λ₁ = 0,16٠10 -3 ч -1 λ₂ = 0,23٠10 -4 t ч -1 λ₃ = 0,06٠10 -6 t 2,6 ч -1 t = 100 ч

Решение: На основании экспоненциального закона имеем Р (t) =

; Так как λ ≠ const, то на основании формулы Р_с (t) = exp( имеем Р_с (t) = exp <-[

(t)dt +

(t)dt]> = exp [ — (

dt +

(t)dt +

(t)dt )] ; Р_с (100) = exp [ — ( 0,16٠10 -3 ٠100 + 0,23٠10 -4 ٠

+ 0,06٠10 -6 ٠

)] ≈ 0,33.

Найти: Р(t)

Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа которых равна Т₁ =160 ч, Т₂ = 320 ч, Т₃ = 600 ч. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы.

Решение. Согласно экспоненциальному закону

N = 3 Интенсивность отказов системы:

Т₁=160 ч Средняя наработка до первого отказа системы:

Т₂= 320 ч Значит:

Т₃= 600 ч

Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч равны: р₁ (100) = 0,95; р₂ (100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы t_{ср с}.

Дано: N = 2 t = 100 ч р₁ (100) = 0,95 р₂ (100) = 0,97

Решение: Определяется вероятность безотказной работы изделия: Р_с (100) = = р₁ (100) р₂ (100) = 0,95٠ 0,97 = 0,92; Определяется интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой Р_с (100) =

; 0,92=

; λ_с٠100 ≈ 0,083 ч -1 , тогда t_{ср с} =

= 1200 ч

Найти: t_{ср с}

Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна p(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из N = 100 таких же элементов.

1 вариант решения:

p(t) = 0,9997 Если у всех элементов системы одинаковая надежность, то

2 вариант решения:

P_c— ? Так как вероятность P_c(t) близка к единице, то можно

воспользоваться следующей формулой: P_c(t) = 1- Q_c(t). Для одного элемента системы: q(t) = 1-p(t) = 1-0,9997 = 0,0003; то есть Q_c(t) = N٠ q(t) =100٠0,0003 = 0,03. Значит P_c(t) = 1-0,03 = 0,97.

Получается, что первый вариант решения более точен.

Вероятность безотказной работы системы в течении времени t равна Р_с(t) = 0.95. система состоит из N = 120 равнонадежных элементов. Требуется определить вероятность безотказной работы элемента р_i(t).

Дано: Р_с(t) = 0.95 N = 120	Решение: Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет р_i (t) = . Так как р (t) близка к единице, то вычисления р (t) удобно выполнять по формуле q_с = 1 — р_i(t) = 1 – 0,95 = 0,05. Тогда р_i(t) = = 1 — = 1 – = 0.9996.
Найти: р_i(t)

Пример 21.В системе N_с = 2500 элементов и вероятность безотказной работы ее в течение одного часа Р_с(1) = 98 %. Предполагается, что все элементы равнонадежны и интенсивность отказов элементов λ = 8,4٠10 -6 ч -1 . Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы t_{ср с}.

N_с = 2500 Интенсивность отказов системы определим по формуле:

λ = 8,4٠10 -6 ч -1 средняя наработка до первого отказа системы равна:

t_{ср с} = 1/λ_с= 1/0,021 = 47,6 ч.

Система состоит из пяти приборов, вероятности исправной работы которых в течение времени t = 100 часов равны: p₁(100) = 0,9996; p₂(100) = 0,9998; p₃(100) = 0,9996; p₄(100) = 0,999; p₅(100) = 0,9998. Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 100 часов.

Предполагается, что отказы приборов независимы и для них справедлив экспоненциальный закон надежности.

t = 100 ч По условиям задачи отказы приборов независимы,

p₁(100) = 0,9996 поэтому вероятность безотказной работы системы равна

p₂(100) = 0,9998 произведению вероятностей безотказной работы прибо-

p₃(100) = 0,9996 ров. Тогда по формуле для высоконадежных систем име-

p₄(100) = 0,999 ем: p₁(t) p₂(t) p₃(t)… p_N(t)

p₅(100) = 0,9998 P_c(100) 1- Q_i(100) = 1-(0,004+0,0002+0,0004+

+0,001+0,0002) = 0,9978.

Так как вероятность безотказной работы системы близка к единице, то в соответствии с формулой

интенсивность отказов можно вычислить следующим образом:

ч -1 ,

тогда частоту отказов определим в соответствии с формулой:

а_с(t) λ_с(1- λ_сt) = 2,2٠10 -5 (1-2,2٠10 -5 ٠100) = 2,195٠10 -5 ч -1 .

Изделие состоит из 1 маломощного низкочастотного германиевого транзистора, 4 плоскостных кремниевых выпрямителей, 1 керамического конденсатора, 1 резистора типа МЛТ, 10 силовых трансформаторов, 3 накальных трансформаторов, 1 дросселя и 9 катушек индуктивности. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия в течение t =200 часов и среднюю наработку до первого отказа.

Для решения данной задачи составляется и заполняется таблица 14.1, после вычисления величин интенсивности отказов изделия.

интенсивность отакзов элементов

Наименование и тип элемента	Количество элементов N_i	Интенсивность отказов, 10 -5 ч -1	N_i λ_i 10 -5 ч -1
Маломощный низкочастотный германиевый транзистор
Плоскостной кремниевый выпрямитель	0,5
Керамический конденсатор
Резистор типа МЛТ	0,3	0,3
Силовой трансформатор	0,22	2,2
Накальный трансформатор	1,5	4,5
Дроссель	2,3	2,3
Катушка индуктивности	1,8	16,2

ч -1

По данным таблицы и по формуле для экспоненциального закона находим вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и среднюю наработку до первого отказа:

Источник