Задание 3.
В задании рассматривается прибор, состоящий из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых состоит из нескольких элементов. Известны вероятности отказов каждого из элементов: p1=0.3, p2=0.2, p3=0.1, p4=0.1, p5=0.2, p6=0.2, p7=0.3. При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость замены блока А составляет С1, блока В – С2 единиц стоимости. Предполагается, что за период времени Т замененный блок не выйдет ещё раз из строя.
1. Найти случайную величину h – стоимость восстановления прибора за период времени Т:
1.1. построить её ряд и функцию распределения;
1.2. вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
2. Построить модель найденной случайной величины для двадцати приборов (методом жребия получить её 20 значений):
2.1. найти экспериментальные ряд и функцию распределения;
2.2. найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения;
2.3. построить графики теоретического и экспериментального ряда и функции распределения.
3. С помощью критерия Пирсона оценить соответствие экспериментального и теоретического распределений при уровне значимости a = 0,05.
Вероятность отказа блока А:
Вероятность отказа блока В:
Пусть h – стоимость восстановления прибора за период времени Т, тгда ряд ее распределения и функция распределения:
| hi | ||||
| pi | 0,636 | 0,004 | 0,358 | 0,002 |
| Fi | 0,636 | 0,64 | 0,998 |
Вероятность того, что не откажет ни один блок:
Р(h = 0) = (1 – 0,006)*(1 – 0,36) = 0,994*0,64 = 0,636
Вероятность того, что откажет только блок А:
Вероятность того, что откажет только блок В:
Вероятность того, что откажут оба блока:
Математическое ожидание случайной величины h:
М(h) = 0*0,636 + 7*0,004 + 12*0,358 + 19*0,002 = 4,362 – средняя стоимость восстановления прибора за период времени Т.
D(h) = (0 – 4,362) 2 *0,636 + (7 – 4,362) 2 *0,004 + (12 – 4,362) 2 *0,358 +
Среднее квадратическое отклонение:
Список использованной литературы:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Высшая школа,1998.
2. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel.Ростов-на-Дону : Феникс, 2002.
3. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Наука, 1979.
4. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. ИНФРА-М,1997.
Источник
«Урок по математике по теме «Задачи на вероятность»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Задачи на вероятность № 3(разные)
1) Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если выходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока
со- ставляет 0,9, второго – 0,8, обоих блоков– 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.
Обозначим через А событие «первый блок работает безотказно в течение определенного промежутка времени», через В событие «второй блок работает безотказно в течение определенного
промежутка времени», через АВ событие «оба блока работают безотказно в течение определенного промежутка времени». Событие С — «прибор работает безотказно в течение определенного промежутка времени» является суммой событий А и В: C = A +B . Из условия задачи известны вероятности Р(А ) =0,9. P (B) = 0,8 и Р (АВ ) = 0,75. По формуле сложения вероятностей имеем
Р( А + В) = Р (А ) + Р(В) – Р(АВ) = 0,9 + 0,8 — 0,75 = 0,95. Ответ: 0,95.
2) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Первый способ. Обозначим через А- событие «кофе закончится в первом автомате», через В собы-тие «кофе закончится во втором автомате». Событие С — «кофе закончится хотя бы в одном автомате» является их суммой C = A + B .
Из условия задачи известны вероятности Р(А ) = Р (В)= 0,35 и
Р(А*В) =0,2. По формуле сложения вероятностей имеем Р (C) = P (A) + P (B) — P (A* B) = 0,35 + 0,35 – 0,2 = 0,5.
Значит, вероятность противоположного события C — «кофе останется в обоих ав-
томатах» равна 1 — 0,5 = 0,5. Ответ: 0,5
3) В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах. Ответ: 0,7
4) В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Обозначим через А — событие «первый продавец занят с клиентом», через В — событие «второй продавец занят с клиентом», через С событие — «третий продавец занят с клиентом». Со-
бытия А, В и С независимые. Событие D- «все три продавца заняты одновременно» является их произведением D = A*B*C.
Из условия задачи известны вероятности
Р(А ) = 0,7, , Р( В) = 0,7, и Р( С) = 0,7.
По формуле умножения вероятностей независимых событий имеем:
Р (D) = P (A) * P( B) * P( C) = 0,7* 0,7*0,7 = 0,343. Ответ :0,343.
5) Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение. Обозначим через А — событие «выбранная батарейка исправна», тогда противоположное событие A — означает «выбранная батарейка бракованная». Из условия задачи известна вероятность Р(А ) = 0,02, тогда Р(В ) = 1 — 0,02= 0,98. Событие С — «обе батарейки окажутся исправными» является произведением независимых событий C = A* A . По формуле умножения
вероятностей независимых событий имеем:
Р( С) = 0,98 * 0,98 = 0,9604. Ответ: 0,9604.
6) Биатлонист 9 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последние пять промахнулся. Результат округлите до сотых.
Р = 0,85*0,85*0,85*0,85*0,15*0,15*0,15*0,15*0,15 = 2,6452… Ответ: 2,65.
6а) Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы
определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Обозначим через А событие «команда «Статор» начинает игру первой», тогда противоположное событие A означает В — «команда «Статор»
не начинает игру первой». Из условия задачи следует, что вероятность
Р(А ) =0,5, тогда Р (В ) =1 — 0,5 = 0,5. Событие С «команда «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры» является произведением независимых событий . По формуле умно-
жения вероятностей независимых событий имеем:
Р (С) = 0,5 *0,5 *0,5= 0,125. Ответ: 0,125.
6б) Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать все игры. Ответ: 0,125.
7) На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
8) . Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Пенсионер начинает прогулку в точке А. Найдите вероятность того, что он придет в точку F
Решение.
Для того, чтобы пенсионер пришел в точку F, должны произойти два события: на первой раз-
вилке он должен направиться из точки А в точку В (с вероятностью Р1 = 1/2) , на
второй развилке –из точки В в точку F (с вероятностью Р2 = 1/4 ). Тогда, согласно
теореме умножения вероятностей,
маршрут А-В-F пенсионер выберет с вероятностью
Р = ½ * ¼ = 1/8 = 0,125 Ответ: 0,125.
9) В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть не исправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Обозначим через А -событие «автомат
неисправен», тогда противоположное событие В — означает «автомат исправен».
Из условия задачи следует, что вероятность Р( А) = 0,05 P A , тогда
Введем событие F «оба автомата неисправны», которое является произведением двух независимых событий F =A *В. событие Е- «хотя бы один автомат исправен» является противоположным собы-
Р(F ) = Р(А )*Р (В )= 0,05* 0,05= 0,0025 и Р(Е) = 1-Р (F ) = 1- 0,0025 = 0,9975.
автомат исправен» является суммой двух
совместных независимых событий
Тогда Р(Е)= Р (А + В ) = Р(А) + Р (В ) — Р(А)* Р (В ) = 0,95+ 0,95- 0,95 * 0,95 = 0,9975
10) В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Р = 0,91 + 0,91 — 0,91* 0,91 = 2,6481 Ответ: 2,6481
11) Б(2.12)1.1.(прототип 320188) Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. Ответ: 0,32.
12) Чтобы поступить в институт на специальность «Международные отношения», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 63 баллов по каждому из трёх предметов — математи-
ка, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность
«Коммерция», нужно набрать не менее 63 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 63 баллов по математике,равна 0,5, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,6 и по обществознанию — 0,9. Найдите вероятность того, что А. сможет поступить на одну из двух упомянутых специальностей.
13) Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике,
равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Ответ: 0,408.
Обозначим через М, Р, И и О события, состоящие в том, что абитуриент получит не менее 70 баллов соответственно по математике, русскому языку, иностранному языку и обществознанию. Из условия задачи следует, что вероятности P (М) = 0,6, P (P ) = 0,8, P (И ) = 0,7 , P (О ) =0,5.
Событие П- «поступил хотя бы на одну из двух специальностей» является суммой трех несов-
местных событий П = ЛК1 +Л1К +ЛК, где события Л и К означают, что абитуриент поступил соответственно на специальность «Лингвистика» и специальность «Коммерция». Найдем вероятности событий, используя формулу умножения вероятностей независимых событий:
Р(ЛК1 ) = Р(МРИО1 ) = Р (Л ) *Р (Р) *Р (И ) *Р (О1) = 0,6 *0,8* 0,7* 0,5= 0,168.
P (Л1 К )= P (МРИ1О) = 0,6 *0,8* 0,3* 0,5 = 0,072.
P (ЛК) = P (МРИО) = P (М) *P (Р )*Р (И)* Р (О) = 0,6* 0,8* 0,7 *0,5 = 0,168.
По формуле сложения вероятностей
несовместных событий имеем:
Р (П) = P( ЛК) + P (ЛК) + P (ЛК) = 0,168+ 0,072 + 0,168 = 0,408. Ответ: 0,408.
14) Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 % этих стекол, вторая – 55 %. Первая фабрика выпускает 3 % бракованных стекол, а вторая – 1 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
А 1 и А 2 события, состоящие в том, что стекло выпущено соответственно первой
фабрикой и второй фабрикой. Пусть событие В означает, что стекло бракованное. Из условия задачи следует, что вероятности
P A2 (В) = 0,01 Событие В- является суммой двух несовместных событий B = A 1* B + A 2* B . По формуле сложения вероятностей несовместных событий, а затем формуле умножения вероятно стей зависимых событий имеем:
Р( B ) = Р( A 1* B ) + Р( A 2* B ) = 0,45* 0,03 + 0,55* 0,01= 0,019. Ответ: 0,019.
15) Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25 % этих стекол, вторая – 75 %. Первая фабрика выпускает 4 % бракованных стекол, а вторая – 2 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,025.
Пусть произведено x- тарелок. Тогда 0,1x тарелок с браком, а 0,9x тарелок без брака. Так как при проверке качества выявляется 80% дефектных тарелок, то из бракованных та-
релок (1 — 0,8)* 0,1х= 0,02 x тарелок пойдут на продажу. Всего на продажу поступят
Обозначим через А событие «при покупке тарелка не имеет дефектов». Тогда количество благоприятствующих исходов 0,9х = m (количество тарелок без дефекта, поступивших в продажу), а общее число равновозможных исходов 0,92х = n (всего тарелок, поступивших в
продажу). Вероятность 0,9х / 0,92 = 45 / 46 = 0,98
Замечание. При решении данной задачи можно работать с числами, не вводя неизвестную (например, пусть произведено 100 тарелок и т.д.).
16) Б(2.12)5.3.(319359) Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70 % этих стекол, вторая – 30 %. Первая фабрика выпускает 1 % бракованных стекол, а вторая – 3 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,016.
17) Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Ответ: 0,52
18) Б(2.12)6.3.(320997) Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,1. На столе лежит 10 револьверов, из них только 5 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Ответ: 0,6.
19) Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов). Ответ: 0,84.
Вероятность того, что первым выстрелом мишень не будет поражена
Вероятность поражения мишени при втором выстреле
Согласно теореме умножения вероятностей, вероятность того, что первый выстрел будет неудачным, но мишень будет поражена при втором выстреле
Р2 =Р 21 * Р 22 = 0,4 * 0,6 = 0,24
Со-гласно теореме сложения вероятностей, вероятность того, что мишень будет поражена Р = Р1 + Р 2 = 0,6 + 0,24 = 0,84 Ответ: 0,84.
20) В некоторой местности утро в мае бывает либо ясным, либо облачным. Наблюдения показали: Если майское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,2. Если майское утро облачное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,6. Вероятность того, что утро в мае будет
облачным, равна 0,4. Найдите вероятность того, что в случайно взятый майский день дождя не будет. Ответ: 0,64.
Майское утро может быть либо ясным (с вероятностью P 11 = 0,6, либо облачным (с вероятностью
Р 21 = 0,4. Согласно теореме умножения вероятностей, вероятность
P 1 того, что майское утро будет ясным и дождя не будет, равна произведению вероятностей
Р 11 = 0,6 (утро будет ясным) и
P 12 = 1 — 0,2 = 0,8 (дождя не будет при ясном утре):
Р1 = Р 11 * Р 12 = 0,6 0,8 = 0,48.
P2 того, что майское утро будет облачным и дождя не будет, равна произведению вероятностей
Р 21 = 0,4 (утро будет облачным) и
Р 22 = 1- 0,6 = 0,4.(дождя не будет при облачном утре):
Р2 = Р 21 *Р 22 = 0,4* 0,4 = 0,16.
Согласно теореме сложения вероятностей, вероятность того, что в случайно взятый майский день дождя не будет
Р = Р 1 +Р 2 = 0,48+ 0,16 = 0,64. Ответ: 0,64.
21) В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пасмурным. Наблюдения показали: Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.
Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,5. Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2. Найдите вероятность того, что в случайно взятый июльский день дождя не будет. Ответ:
22) Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по очереди играет с командами «Красные», «Синие» и «Зеленые». Найдите вероятность того, что ровно в одном матче право владеть первой мячом получит команда «Белые».
Обозначим ситуацию, когда в матче первая владеет мячом команда «Белые» за «1», обратную ситуацию за «0». Всего будет сыграно 3 матча. Общее число случаев (комбинации 000,001,010,011,100,101,110,111) n = 8
Число благоприятных случаев (комбинации 001,010,100) m = 3.
Согласно определению вероятности Р = 3 / 8 = 0,375
23) Найдите вероятность того, что при 9 бросаниях симметричной монеты «орел» выпадет ровно четыре раза. Ответ: 0,246
Источник
