40 всех выпускаемых заводом прибором собирается

Формулы Бейеса

Пример №1 . Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. Около 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время t равна 0,95; если из деталей обычного качества — его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найдите вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.
Решение. Возможны две гипотезы: H₁ — прибор собран из высококачественных деталей; H₂ — прибор собран из деталей обычного качества. Вероятности этих гипотез до опыта: P(H₁) = 0,4, P(H₂) = 0,6. В результате опыта наблюдалось событие A — прибор безотказно работал время t. Условные вероятности этого события при гипотезах H₁ и H₂ равны: P(A|H₁) = 0,95; P(A|H₂) = 0,7. По формуле (12) находим вероятность гипотезы H₁ после опыта:

Пример №2 . Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Предполагая, что два стрелка не могут попасть в одну и ту же точку, найдите вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
Решение. Пусть событие A — после стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. До начала стрельбы возможны гипотезы:
H₁ — ни первый, ни второй стрелок не попадет, вероятность этой гипотезы: P(H₁) = 0,2 · 0,6 = 0,12.
H₂ — оба стрелка попадут, P(H₂) = 0,8 · 0,4 = 0,32.
H₃ — первый стрелок попадет, а второй не попадет, P(H₃) = 0,8 · 0,6 = 0,48.
H₄ — первый стрелок не попадет, а второй попадет, P (H₄) = 0,2 · 0,4 = 0,08.
Условные вероятности события A при этих гипотезах равны:
P(A|H₁)=0; P(A|H₂)=0; P(A|H₃)=1; P(A|H₄)=1.
После опыта гипотезы H₁ и H₂ становятся невозможными, а вероятности гипотез H₃ и H₄
будут равны:

Итак, вероятнее всего, что мишень поражена первым стрелком.

Пример №3 . В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19,6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найдите вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.
Решение. Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым — работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:
A — электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;
H₁ — монтер возьмет двигатель из продукции первого завода;
H₂ — монтер возьмет двигатель из продукции второго завода;
H₃ — монтер возьмет двигатель из продукции третьего завода.
Вероятность события A вычисляем по формуле полной вероятности:
P(A)=P(A|H₁)·H₁ + P(A|H₂)·H₂ + P(A|H₃)·H₃
Условные вероятности заданы в условии задачи:
P(A|H₁)=0.85; P(A|H₂)=0.76; P(A|H₃)=0.71
Найдем вероятности P(H₁)=19/36 ≈ 0,528; P(H₂)=6/36 ≈ 0,167; P(H₃)=11/36 ≈ 0,306;
P(A)=0,85·19/36+0,76·6/36+0,71·11/36 ≈ 0,792
По формулам Бейеса (12) вычисляем условные вероятности гипотез H_i:

Пример №4 . Вероятности того, что во время работы системы, которая состоит из трех элементов, откажут элементы с номерами 1, 2 и 3, относятся как 3: 2: 5. Вероятности выявления отказов этих элементов равны соответственно 0,95; 0,9 и 0,6.
а) Найдите вероятность обнаружения отказа в работе системы.
б) В условиях данной задачи во время работы системы обнаружен отказ. Какой из элементов вероятнее всего отказал?

Решение.
Пусть А – событие отказа. Введем систему гипотез H1 – отказ первого элемента, H2 – отказ второго элемента, H3 – отказ третьего элемента.
Находим вероятности гипотез:
P(H1) = 3/(3+2+5) = 0.3
P(H2) = 2/(3+2+5) = 0.2
P(H3) = 5/(3+2+5) = 0.5

Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|H1) = 0.95, P(A|H2) = 0.9, P(A|H3) = 0.6

а) Найдите вероятность обнаружения отказа в работе системы.
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.3*0.95 + 0.2*0.9 + 0.5*0.6 = 0.765

б) В условиях данной задачи во время работы системы обнаружен отказ. Какой из элементов вероятнее всего отказал?
P1 = P(H1)*P(A|H1)/ P(A) = 0.3*0.95 / 0.765 = 0.373
P2 = P(H2)*P(A|H2)/ P(A) = 0.2*0.9 / 0.765 = 0.235
P3 = P(H3)*P(A|H3)/ P(A) = 0.5*0.6 / 0.765 = 0.392

Максимальная вероятность у третьего элемента.

Источник

Группу монтажников из 18 человек, среди которых 4 высшей квалификации, разбивают на две одинаковые по численности бригады. Какова вероятность того, что при слу

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Группу монтажников из 18 человек, среди которых 4 высшей квалификации, разбивают на две одинаковые по численности бригады. Какова вероятность того, что при случайном выборе в каждой бригаде окажутся по 2 специалиста высшей квалификации?

Даны вероятности событий Найти

40% всех выпускаемых заводом приборов собираются из высококачественных деталей, а остальные – из деталей обычного качества. Надежность (вероятность безотказной работы за время T) прибора, собранного из высококачественных деталей, равна 0,95, а собранного из деталей обычного качества – 0,7. Прибор испытывался в течение времени T и работал безотказно. Найти вероятность того, что прибор был собран из высококачественных деталей.

Студент сдает экзамен автоматическому экзаменатору. На каждый вопрос ответ дается в виде “да” и “нет”. Какова вероятность сдать экзамен наудачу, если для этого нужно дать верные ответы не менее чем на семь вопросов из десяти?

Во всем здании общежития используется 600 электроламп, каждая из которых может с вероятностью, равной 0,3, перегореть раньше, чем проработает определенный срок. Определить вероятность того, что за данный срок придется заменить не более 200 электроламп.

Отвальный щит бульдозера захватывает полосу грунта шириной 2,4м. До сбрасывания грунта бульдозер каждый раз проходит 5м; средняя концентрация камней равна 0,25 камня на один квадратный метр расчищаемой площади. Определить вероятность захвата бульдозером за один раз: а) ровно двух камней; в) более двух камней.

Три спортсмена произвели залп по мишени. Вероятности попадания в мишень каждым стрелком одинаковы и равны 0,9. Дискретная случайная величина – число попаданий в мишень. Найти: ряд распределения, числовые характеристики, функцию распределения Построить график .

Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом:

Найти коэффициент A, функцию распределения , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале Построить графики и

Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что ошибка взвешивания не превзойдет по абсолютной величине 10г.

Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как указано на чертеже, если является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием кг и средним квадратическим отклонением 20кг. Предельное напряжение для балки принять равным 2500кг/, а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной

Двадцатилетние измерения толщины льда в январе и феврале на акватории водохранилища дали следующие результаты (в сантиметрах):

Источник

Найти вероятность того, что незабракованный прибор имеет дефекты

Если не трудно помогите с задачами.

1. Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку выпускаемых заводом приборов.Каждый прибор независимо от остальных имеет дефекты с вероятностью р. При проверке в ОТК наличие дефектов обнаруживается с вероятностью ; кроме того, с вероятностью исправный прибор при проверке может вести себя как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность q0 того, что незабракованный прибор имеет дефекты, и вероятность q1 того, что забракованный прибор имеет дефекты. При каких условиях q0>q1?

Найти вероятность того, что прибор не работает
40% всех приборов завода собираются из деталей высокого качества, а другие 60% — из деталей.

Найти вероятность того, что прибор будет признан негодным
Проводятся испытания прибора. При каждом испытании прибор с вероятностью 0,1 выходит из строя.

Найти вероятность того, что в серии из пяти испытаний прибор выйдет из строя не менее двух раз
Проводятся испытания прибора . При каждом испытании прибор выходит из строя вероятностью p = 0,1 .

Найти вероятность того, что уравнение не имеет действительных корней
Числа p и q выбираются случайным образом на отрезках и соответственно. Найти вероятность того.

событие А — прибор на ОТК признан дефектным (забракован)

Это гипотеза Н₁ — что случайно взятый прибор — бракованный и ее вероятность

Вторая гипотеза Н₂ — исправный (его вероятность равна. )

Источник

О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака

Тема 3

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Решение типовых задач

Задача 1. На сборку поступают детали с 3 станков-автома­тов, производительности которых относятся как 2:3:5. Брак в их продукции составляет 2%, 1%, 3% соответственно. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная.

Решение. Пусть событие состоит в том, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная. Это событие происходит совместно с одной из гипотез , состоящих в том, что деталь с i-го автомата. Вероятности этих гипотез:

; ; .

Гипотезы образуют полную группу событий, сумма их вероятностей равна 1.

Условные вероятности интересующего нас события равны:

; ; .

Искомую вероятность события найдем по формуле полной вероятности, которая в нашем случае запишется так:

.

.

Задача 2. Наборщик типографии использует 2 набора шрифтов одинакового объема, при этом в 1-м из них 80%, а во 2 – 70% высококачественного шрифта. Наудачу извлеченная литера из наудачу взятого набора оказалась высококачественной. Найти вероятность того, что эта литера взята из 2-го набора.

Решение. Событие – наудачу взятая литера высококачественная. Как и в предыдущей задаче, оно происходит совместно с одной из гипотез – литера с i-го набора – вероятности которых . Гипотезы и образуют полную группу событий.

По условию , . Требуется найти вероятность , т.е. переоценить вероятность гипотезы при условии, что событие уже наступило. Используем формулу Байеса

,

где – формула полной вероятности.

В данном случае .
^

Задачи для отчета преподавателю

А 3.1. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1, 10 изготовлено на станке № 2, остальные – на станке № 3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96, на станке № 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на станке № 3, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,98.

А 3.2. На сборку поступают детали с 4 автоматов. Второй дает 40%,
а третий – 30% продукции, поступающей на сборку. Первый автомат выпускает 0,125% брака, а второй, третий и четвертый – по 0,25%. Сколько процентов продукции идет на сборку с 4-го автомата, если вероятность поступления на сборку бракованных деталей равна 0,00225?

А 3.3. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6;
8 – с вероятностью 0,5 и 5 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А 3.4. Три партии деталей содержат соответственно по 1/2, 2/3 и 1/2 бракованных. Из каждой партии взято по 1 детали, причем
обнаружено 2 бракованных. Определить вероятность того, что доброкачественная деталь принадлежит 3-й партии.

А 3.5. Из партии в 4 детали наудачу взята одна, оказавшаяся
доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных деталей наиболее вероятно и какова его вероятность?

А 3.6. Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти
вероятность того, что: а) число бракованных изделий равно 6; б) взятое бракованное изделие единственно.

А 3.7. В 2-х ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в 1-м ящике – 12, а во 2-м – 15 стандартных. Из 1-го ящика перекладывается во 2-й одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из 2-го ящика будет стандартной.

А 3.8. В магазин поступили электролампы, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены 1-м заводом, а остальные – 2-м. Известно, что 3% ламп 1-го завода и 5% ламп 2-го завода не удовлетворяют стандарту. Какова вероятность, что взятая наудачу лампа будет стандартной?

А 3.9. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,9;
8 – с вероятностью 0,5 и 5 – с вероятностью 0,6. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А 3.10. Через остановку возле вокзала проходят автобусы маршру­тов № 2, № 3, № 10 и № 29. Пассажир ждет автобус № 2 или № 10. Среди 50 курсирующих автобусов имеется 6 автобусов № 2 и 9 – № 10. Найти вероятность того, что 1-й, подошедший к остановке автобус будет нужного пассажиру маршрута, если появление на остановке любого автобуса предполагается равновероятным.

А 3.11. Имеется 2 ящика изделий, причем в 1 ящике все
изделия доброкачественны, а во 2 – только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит 1-му и 2-му ящику, если количество изделий в ящиках
одинаково?

А 3.12. Из контейнера, содержащего одинаковое количество
деталей 4-х предприятий, взяли на проверку одну деталь. Какова вероятность обнаружения бракованной продукции, если продукция 2 предприятий содержит по 3/4 бракованных деталей, а вся
продукция остальных предприятий доброкачественна?

А 3.13. В 2 ящиках содержится по 20 деталей, из которых в
1-м ящике – 16, а во 2-м – 10 стандартных. Из 1-го ящика извлекаются и перекладываются во 2-й ящик 2 детали. Определить
вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из
2-го ящика будет стандартной.

А 3.14. Известно, что 5% всех мужчин и 25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником.
Какова вероятность, что это мужчина?

А 3.15. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень c вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6; 2 – c вероят­ностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А 3.16. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандартам. Упрощенная схема контроля признает пригодной
стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандартам.

А 3.17. Прибор может собираться из высококачественных
деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы за время t) равна 0,95; если из деталей обычного
качества, то 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и
работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

А 3.18. Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в
остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

А 3.19. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, 2 знают 20 билетов из 30, 1 успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного на подготовку времени экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при
незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?

А 3.20. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 5 отличников, 12 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 30 вопросов программы, хорошо подготовленные – 25, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятности событий: а) студент подготовлен отлично или хорошо; б) студент подготовлен удовлетворительно; в) студент подготовлен плохо.

А 3.21. В продажу поступают телевизоры 3 видов. Продукция
1-го завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом,
2-го – 10% и 3-го – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с 1-го завода, 20% – со 2-го и 50% – с 3-го?

А 3.22. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно переливать кровь любой группы; человеку со 2-й или 3-й группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо 1-й;
человеку с 1-й группой крови можно перелить только кровь 1-й группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% – вторую, 20,9% – третью и 7,9% – четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

А 3.23. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще 2 мяча. Какова вероятность того, что 2-я игра будет проводиться новыми мячами?

А 3.24. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70% всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров и 30% – для черно-белых. Известно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, 40% отправляется на экспорт. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп, предназначенный для черно-белого телевизора, будет отправлен на экспорт.

А 3.25. Имеется 25 партий однотипных изделий: 10 партий по 10 изделий, из которых 8 стандартных, 2 – нестандартных; 5 партий по 8 изделий, из них 6 стандартных, 2 – нестандартных; 5 партий по 8 изделий, из них 6 стандартных, 2 – нестандартных; 5 партий по 5 изделий, из которых 4 стандартных, 1 нестандартно. Из наудачу выбранной партии изымается одна деталь. Какова вероятность того, что она нестандартна?

А 3.26. Три машинистки перепечатывали рукопись. 1-я напеча­тала 1/3 всей рукописи, 2-я – 1/4, остальное – 3-я. Вероятность того, что 1-я машинистка сделает ошибку, равна 0,15, 2-я – 0,1, 3-я – 0,1. При проверке была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошибка допущена 1-й машинисткой.

А 3.27. Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,05. Вероятность обнаружения дефекта равна 0,95, а вероятность того, что годная деталь будет забракована, равна 0,02. Найти вероятность того, что: а) деталь будет принята; б) принятая деталь окажется с дефектом; в) непринятая деталь не будет иметь дефекта.

А 3.28. Априорно установлено, что число дефектных деталей не превышает 3 на 100 и все значения (0, 1, 2, 3) числа дефектных
деталей равновозможны. Какова вероятность того, что среди имеющихся 1000 изготовленных деталей нет дефектных, если из взятых на проверку 100 деталей дефектных не оказалось?

А 3.29. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае шанс сдать экзамен выше: когда он подходит тянуть билет первым или не первым?

А 3.30. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероят­ностью белый или черный. В урну опускается 1 белый шар, и после тщательного перемешивания наудачу извлекается 1 шар.
Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался
белый шар?

А 3.31. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в отношении 2:5:8, причем вероятности брака для этих заводов
соответственно равны 0,05, 0,03, 0,02. Приобретенный прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен
1-м заводом?

А 3.32. Семьдесят процентов кинескопов, имеющихся на складе телеателье, изготовлены заводом №1, остальные – заводом №2. Вероятность того, что кинескоп завода №1 выдержит гарантийный срок службы, равна 0,9, для завода № 2 эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

А 3.33. В двух ящиках содержится по 20 деталей, из которых в первом ящике – 16, а во втором – 10 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика будет стандартной?

А 3.34. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1, 10 – на станке № 2, а остальные – на станке № 3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96, на станке № 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на третьем станке, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,97.

А 3.35. Оператор радиолокационной станции фиксирует самолет противника с вероятностью 0,8 и принимает помеху за самолет с
вероятностью 0,1. В 15% случаев на экран оператора попадает
помеха. Оператор принял решение о наличии в воздушном
пространстве самолета противника. Определить вероятность того, что сигнал получен действительно от самолета.

А 3.36. Из 20 стрелков семь попадают в цель с вероятностью 0,6; восемь – с вероятностью 0,5 и пять – с вероятностью 0,7.
Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А 3.37. На строительство объекта поступают железобетонные плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук
соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТу), равный в процентном отношении соответственно 1, 5, 2 и 3. Какова вероятность того, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТа?

А 3.38. Экономист считает, что вероятность роста стоимости акции компании в следующем году составит 0,75, если экономика страны будет на подъеме, и 0,30, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъема равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.

А 3.39. Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0,9; от второй – с вероятностью 1, однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0,1; для второй – 0,02. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?

А 3.40. В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с веро­ятностью 0,05; ученик – с вероятностью 0,15. Поступившее из цеха изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер?

Блок В

1. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со второго — 0,2%, с третьего — 0,25%, с четвертого — 0,5%. Производительности их относятся как 4 : 3 : 2 : 1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена: а) на первом; б) на втором; в) на третьем; г) на четвертом станке. Как проверить правильность вычислений этих вероятностей?
2. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй — шесть, из третьей — пять студентов. Вероятности того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,5, 0,4 и 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
3. Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом составляет для данного стрелка 0,95, без оптического прицела — 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.
4. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго — 30%, с третьего — 20%, с четвертого — 10% всех деталей. Среди деталей первого станка 0,1% бракованных, второго — 0,2%, третьего — 0,25%, четвертого — 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.
5. Радиолампы производятся на двух заводах, причем первый из них поставляет 70% всей продукции, а второй – 30%. Из каждых 100 ламп первого завода 80 стандартных, а из 100 ламп второго завода – лишь 60 стандартных. Найти вероятности следующих событий: а) заказчик получил стандартную лампу; б) лампа произведена первым заводом, если известно, что она оказалась стандартной.
6. В некоторой отрасли 30% продукции производится на первой фабрике, 25% – на второй, остальное – на третьей. На первой фабрике брак составляет 1% от общего объема произведенной продукции, на второй – 1,5%, на третьей – 2%. Купленная покупателем продукция оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена на первой фабрике?
7. Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 7 черных, в третьей – только белые шары. Наугад из одной урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что он белый.
8. Три стрелка одновременно выстрелили в мишень, в результате чего в ней оказалась одна пробоина. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,3, второго – 0,5, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попал второй стрелок.
9. Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 4 белых и 6 черных шаров, во второй – все белые, в третьей – все черные шары. Из выбранной наугад урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что: а) шар черный; б) шар был извлечен из первой урны, если он оказался белым.
10. Студент знает ответы на 25 билетов из 30. Один билет уже вытащили до него. Какова вероятность того, что студент знает попавшийся ему билет?
11. В группе учатся 20 девочек и 10 мальчиков. Домашнее задание не выполнили 4 девочки и 3 мальчика. Наугад вызванный студент оказался не подготовлен. Какова вероятность того, что это мальчик?

Блок С

С 3а Инспекторы налоговой службы производят проверку деятельности предприятий: первый обслуживает предприятий, среди которых % не имеют задолженностей, второй предприятий, из них % без задолженностей. Какая вероятность того, что:

а) наудачу выбранное предприятие не имеет задолженностей;

б) предприятие, которое не имеет задолженностей, проверял первый инспектор?

Номер варианта	Исходные данные				Номер варианта	Исходные данные
		%		%			%		%
С 3.1	50	15	70	20	С 3.6	55	20	75	40
С 3.2	70	25	80	30	С 3.7	85	35	95	15
С 3.3	65	20	75	40	С 3.8	90	25	70	30
С 3.4	80	25	100	40	С 3.9	80	20	55	45
С 3.5	70	30	90	20	С 3.10	60	30	90	50

С 3б Тираж популярной газеты печатается в двух типографиях. Мощности типографий соотносятся как , причем первая дает % брака, а вторая % брака. Какая вероятность того, что:

а) наудачу выбранный экземпляр газеты будет бракованным;

б) бракованный экземпляр газеты напечатан во второй типографии?

Номер варианта	Исходные данные				Номер варианта	Исходные данные
			%	%				%	%
С 3.11	3	4	2	1,5	С 3.16	3	5	3	2,5
С 3.12	2	5	3,5	2	С 3.17	3	1	2	2,5
С 3.13	4	3	2,5	3	С 3.18	1	4	2	3
С 3.14	5	2	2,5	3,5	С 3.19	3	7	4	3
С 3.15	4	5	4	2,5	С 3.20	5	4	3,5	3

С 3в В кассу предприятия поступили банкноты в пачках от двух банков: пачек от первого и – от второго. Ошибка кассиров первого банка составляет %, а второго – %. Какая вероятность того, что:

а) наудачу выбранная пачка сформирована без ошибок;

Источник